Cho 0 < x; y; z ≠ 1 và thỏa mãn xyz = 1. Tính giá trị của biểu thức
S = log z z y + log x y z + log y z x log x y z + log y z x + log z x y
A. S = 7
B. S = 8
C. S = 9
D. S = 3
Cho xyz khác 0 thỏa mãn: x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3 = 3x^2y^2z^2
Tính giá trị của biểu thức: M = ( 1+ x/y )( 1 + y/z )( 1 + z/x )
3x²y²z² = x³y³ y³z³ z³x³
(3x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³) = 1
3.[(x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³)] = 1
(x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³) = 1/3
(x²y²z²) / (x³y³) (x²y²z²) / (y³z³) (x²y²z²) / (z³x³) = 1/3
z²/(xy) x/(yz) y²/(zx) = 1/3
Vậy x²/(yz) y²/(xz) z²/(xy) = 1/3
cho x, y,z đều khác 0 thỏa mãn x+y+z=xyz và1/x+1/y+1/z=căn 3
Tính giá trị biểu thức: M=1/x^2+1/y^2+1/z^2
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 2 và x + y + z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = xyz
\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$
$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$
$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$
$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$
Hay $H\leq 2$
Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$
Cho xyz khác 0 thỏa mãn x+y+z=xyz và 1/x+1/y+1/z=căn 3. Tính giá trị biểu thức 1/x2+1/y2+1/z2
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(B=\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}+9\sqrt{xyz}\)
a) Cho x, y, z và x - y - z = 0
Tính giá trị của biểu thức:
\(A=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
b) Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1
CMR:
\(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{xyz+yz+1}=1\)
Cho 3 số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn với xyz(3x + y + z)(3y + z + x)(3z + x + y) \(\neq\) 0 thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{x}{y+z+3x}=\dfrac{y}{z+x+3y}=\dfrac{z}{x+y+3z}\). Tính giá trị biểu thức:
A = \(\left(2+\dfrac{y+z}{x}\right)\left(2+\dfrac{z+x}{y}\right)\left(2+\dfrac{x+y}{z}\right)\)
Xét \(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=-x\\z+x=-y\\x+y=-z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\left(2-1\right)\left(2-1\right)\left(2-1\right)=1\)
Xét \(x+y+z\ne0\) thì ta có:
\(\dfrac{x}{y+z+3x}=\dfrac{y}{z+x+3y}=\dfrac{z}{x+y+3z}=\dfrac{x+y+z}{5x+5y+5z}=\dfrac{x+y+z}{5\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=y+z+3x\\5y=z+x+3y\\5z=x+y+3z\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\2y=z+x\\2z=x+y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\left(2+2\right)\left(2+2\right)\left(2+2\right)=64\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}A=1\\A=64\end{matrix}\right.\)
Nếu bị lỗi thì bạn có thể xem đây nhé:
a. Cho x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
Tính giá trị biểu thức A=\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\)
b. Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng A=\(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\)
là bình phương của 1 số hữu tỉ
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=\(\dfrac{5x^2+4x-1}{x^2}\)
cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=xyz
Không tồn tại min của T
Muốn biểu thức này tồn tại min thì cần thêm điều kiện ví dụ x;y;z>0
với x,y,z<0
`=>` Min_T không tồn tại
Với x,y,z>0
Ta áp dụng bđt cosi cho 3 số dương:
`x+y+z>=3root{3}{xyz}`
Mà `x+y+z=xyz`
`=>xyz>=3root{3}{xyz}`
`<=>(xyz)^3>=27xyz`
Chia 2 vế cho `xyz>0` ta có:
`(xyz)^2>=27`
`<=>xyz>=3sqrt3`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z`
Mặt khác`x+y+z=xyz`
`<=>3x=x^3`
`<=>x^2=3`
`<=>x=sqrt3`
`<=>x=y=z=sqrt3`